Then we have these equations:
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(1)
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(2)
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(3)
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(4)
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and the following, derived by differentiation,
from |
(1) |
dφ/mdφ′=cosφ′/cosφ,
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(3) |
0=(u+rcosφ)du−ursinφdφ,
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(4) |
0=(v−rcosφ′)dv+vrsinφ′dφ′,
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that is, u |
=u+rcosφ/rsinφdu/dφ,
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v |
=v−rcosφ′/rsinφ′·−mdv/mdφ′
|
Dividing the latter of these by the former, and putting 1 for −mdv/du and cosφ′/cosφ for dφ/mdφ′, we obtain
v/u= |
v−rcosφ′/u+rcosφ·sinφ/sinφ′·cosφ′/cosφ;
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∴ v= |
urcosφ′·tanφ/utanφ−(u+rcosφ)tanφ′.
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Particular cases.
- (1) When u is infinite, or the incident rays are parallel
v=rcosφ′·tanφ/tanφ−tanφ′=rcosφ′2·sinφ/sin(φ−φ′).
This is easily constructed:
Draw Em (Fig. 106.) perpendicular to Rq, mn to ER; nq parallel to QR, determines the point q.
It is easy to see that by this construction we have