Page:Philosophical Transactions - Volume 003.djvu/134

(757)

catoris figuræ & methodo quantum res ferebat accomodaveram) ad principia mea revocatam ab origins repetam. V. Fig. 2.

Ostensum est, in mea Arithmetica Infinitorum, prop. 95.. Spatium Hyperbolium $AD\beta \beta \gamma$ (in infinitum continuarum à parte $\beta \delta$, sed à parte $D\beta$ ubivis terminatum,) Figuram esse quam ex Primanorum Reciprocis conflatam appello, Prop. 88. definitam: Cujus nempe Ordinatim—applicatæ $d\beta$, $d\beta$, sint Primanis (seu Arithmetice proportionaiibus) $db$, $db$, (Triangulum complentibus) adeoque ipsis $dA$, $dA$, (suis à vertice distantiis) Reciproce Proportionales. Hoc est, (posito $AD=d$; & rectangulo $AD\beta =b^{2}$; particulisque infinite exiguis $a$, $a$, &c;) fi à vertice $A\delta$ incipias ${\frac {b^{2}}{0}}$, ${\frac {b^{2}}{a}}$, ${\frac {b^{2}}{2a}}$, ${\frac {b^{2}}{3a}}$ &c. usque ad ${\frac {b^{2}}{d}}=D\delta$: vel, fi à base $D\delta$ incipias, ${\frac {b^{2}}{d}}$, ${\frac {b^{2}}{d-a}}$, ${\frac {b^{2}}{d-2a}}$, ${\frac {b^{2}}{d-3a}}$, &c. usque ad ${\frac {b^{2}}{d-d}}=A\delta$ infinitæ, (nempe, fi ad Verticem usque processum continuaveris;) vel, usque ad ${\frac {b^{2}}{d-A}}=C\beta$, (posito $DC=A$,) fi continuaveriis usque ad $C\beta$, ubivis intra $A\delta$ & $D\beta$ sumptam. (Adeoque omnium Aggregatum; ${\frac {b^{2}}{d}}+{\frac {b^{2}}{d-a}}+{\frac {b^{2}}{d-2a}}+{\frac {b^{2}}{d-3a}}$, &c, est ipsum $DC\beta \beta$ planum.)

Manifestum itaque est, (& ibidem pro. 94. ostensum) si intelligantur singulæ $d\beta$, in fuas à vertice distantias $Ad$, ductæ; hoc est, ${\frac {B^{2}}{a}}$ in $a$, ${\frac {B^{2}}{2a}}$in $2a$, (& sic de reliquis;) crunt omnia rectangula $Ad\beta$; hoc est, rectarum $d\beta$ momenta respectu $A\delta$, (intellige, facta ex magnitudine in distantiam ductæ;) seu plana semiquadrantalem Ungulam (cujus acies $A\delta$ complentia, (eisdem $d\beta$ rectis perpendiculariter insistentia;) invicem æqualia. Quippe singula ${}=b^{2}$. (Quorum cum unum sit $AIV\delta$ quadratum, erit $AI=b$.)

Adeoque Totius $AD\beta \beta \delta$ (plani infiniti) seu omnium $d\beta$ illud complentium, momentum respectu rectæ $A\delta$, (ut axis æquilibrii;) seu Ungula semiquadrntalis eidem $AD\beta \beta \delta$ insistens (aciem habens $A\delta$;) sunt totidem $b^{2}$; hoc est, $db^{2}$. (Ungula magnitudinis finitæ plano infinitæ magnitudinis insistens.) Ejusque pars plano $AC\beta \beta \delta$ insistens (propter $AC=d-A$.) similiter ostendetur æqualis ipsi $d-A$ in $b^{2}$. ductæ; hoc est $db^{2}-Ab^{2}$. Adeoque pars reliqua, ipsi $DC\beta \beta$ insistens, æqualis ipsi $Ab^{2}$. Quod itaque est ejusdem $DC\beta \beta$ momentum respectu $A\delta$.